Escher, il nastro di Möbius e gli idiot savant: fin dove si può arrivare col pensiero?

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Ma i veri viaggiatori partono per partire e basta: cuori lievi, simili a palloncini che solo il caso muove eternamente, dicono sempre “Andiamo”, e non sanno perchè. I loro desideri hanno le forme delle nuvole.

Charles Baudelaire

Tutto è possibile nel mondo del pensiero, nel senso che è superabile la necessità di poter vivere limitati, come nel mondo della normale vita comune. Nel mondo del pensiero è diverso, il di sopra può essere il di sotto, per esempio, e questo non turba coloro che vi si inoltrano.

Un esempio lampante che permette di capire con estrema semplicità questo stato ci viene dalla geometria del nastro  di Möbius.[1]

In matematica, e più precisamente in topologia, il nastro di Möbius è un esempio di superficie non orientabile e di superficie rigata. In pratica – per esempio – una strisciolina di carta, larga qualche centimetro, incollata agli estremi, dopo averne dato un mezzo giro di torsione, è una delle figure più straordinarie e sorprendenti del mondo matematico, dalle mille imprevedibili trasformazioni e applicazioni. La sua popolarità è arrivata ben oltre la matematica, dapprima come semplice gioco e poi coinvolgendo maghi, artisti e scienziati. Per scoprire il grande, affascinante mondo di questa strisciolina di  carta è sufficiente, muniti di colla e forbici, avere la pazienza di costruirne una per restare sconcertati di fronte alle sue caratteristiche.

Mosaico di Aion e lo Zodiaco. Museo, della Gliptoteca di Monaco di Baviera

Se proviamo a percorrere con un dito la superficie della striscia, scopriamo che ritorniamo al punto di partenza senza mai staccare il dito. Prima scoperta: il nastro di Möbius non ha due facce, una inferiore e una superiore, a differenza di un normale anello di carta, cioè di un cilindro, ha una sola superficie. Se una formica percorresse tutto l’anello, alla fine si ritroverebbe al punto di partenza, senza “salti” o “stacchi”, come accade invece su un cilindro normale.

Il teorema geometrico del nastro di Möbius ha dato spunto ad alcuni artisti di immaginare strane e curiose rappresentazioni che possono servici ora per correlarli a un possibile modo di vedere di certe situazioni inverosimili del mondo dell’arte. Ma a un’opera d’arte antica, spetta l’idea di essersi serviti, per prima, del nastro di Möbius, ancor che fosse immaginato e studiato dal matematico e astronomo Möbius. È il mosaico di Aion e lo Zodiaco, uno dei capolavori  esposto nel Museo, della Gliptoteca di Monaco di Baviera. Questo mosaico, che è del III secolo d.C., proviene dall’antica città di Sentinum, ora parte del comune di Sassoferrato, nelle Marche.

<Oltre  al  suo  valore  artistico,  è  stato  recentemente  riconosciuto  che  questo  mosaico è anche particolarmente importante per la storia della scienza, in particolare della matematica. Due fisici teorici, Julyan Cartwright del Csic e dell’Università di Granada, in Spagna, e Diego Gonzalez, dell’Istituto Imm del Cnr e dell’Università di Bologna, hanno […] pubblicato un articolo sulla rivista Mathematical Intelligencer (Vol. 38 n.2), dove illustrano come il mosaico di Aion sia il più antico esempio conosciuto di una figura geometrica molto speciale: il Nastro di Möbius. […] 

Aion (in greco: Αìων) è una divinità ellenistica associata con il tempo, la sfera o un cerchio che comprende l’universo, e lo zodiaco. Il ‘tempo’ rappresentato da Aion è illimitato, in contrasto con Chronos, che rappresentava invece il tempo empirico diviso in passato, presente e futuro. Aion dunque è un dio di eternità, associato a religioni misteriche interessate con l’aldilà. Osservando la fotografia, si vede che il piede di Aion poggia sulla parte interna del nastro che contiene la raffigurazione dello zodiaco. Se si segue il nastro in direzione oraria si arriva sulla testa di Aion, ma nella parte esterna del nastro, come succede appunto nel nastro descritto da Möbius. Bisogna chiarire che, sebbene sembri che la costruzione del nastro sia stata voluta dall’artista, ci potrebbe essere stata una motivazione di tipo squisitamente pratico in questa scelta: se si fosse disegnato lo zodiaco in un nastro e si fosse chiuso questo nastro in un normale cerchio intorno ad Aion, alcune delle figure dello zodiaco sarebbero rimaste nella parte posteriore e non sarebbero state pertanto visibili. Introducendo un mezzo giro sulla parte posteriore, vale a dire costruendo un nastro di Möbius, questo problema non si pone.>[2]

Le simmetrie e paradossi del pittore Escher

Forse è Aion che ha ispirato artisti come Escher a fargli immaginare luoghi che inducono a moti senza fine.

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) è stato un incisore e grafico olandese. È conosciuto soprattutto per le sue incisioni che hanno per oggetto immagini basate su curiose simmetrie che esplorano l’infinito, paradossi matematici e prospettive (apparentemente) impossibili.

La matematica e il calcolo sono componenti chiave per comprendere a fondo le sue opere.

Lui stesso è stato amico di molti matematici come Bruno Ernst sul quale ha scritto un libro “Lo specchio magico di M.C. Escher”.

Tuttavia si dice di lui che non è stato uno studente modello, mostrandosi carente in quasi tutte le materie, compresa la matematica, ad eccezione (ovviamente) del disegno. [3] Questo può passare inosservato, ma vedremo quanta importanza ha nel tentare di svelare in che modo egli sia stato in grado di concepire le sue opere nonostante la sua carenza della cultura matematica.

Ma già ci si immagina che così si spiega la sua incanalazione psichica, come vedremo, in mondi differenti, non trovando sbocchi se non attraverso il disegno, l’unica vera dote dell’intraprendente artista.

Una delle opere famose di Escher, è Relatività. Ma degna di essere esaminata particolarmente è una litografia che Escher nel 1956, cui diede il titolo di “Prentententoonstelling” che tradotto in italiano significa “Galleria di Stampe”.

In questa stampa un giovane ammira un quadro esposto in una galleria d’arte, in cui e’ rappresentato il porto di una piccola città (probabilmente La Valletta a Malta). Paradossalmente procedendo in senso orario, nella città si ripresenta la galleria d’arte dove al suo interno si rivede il giovane che ammira un quadro …

Al centro della litografia troviamo un buco bianco con la firma di Escher.

Secondo l’analisi frattale, quella litografia può essere vista come una determinata curva ellittica sul piano dei numeri complessi che conduce a una sua ripetizione costante, ruotata in senso orario di circa 157,62… gradi e rimpicciolita di 22,58… volte.

In parole povere, in quel buco ci si potrebbe incastrare l’intera immagine, rimpicciolita 22 volte circa e ruotata di 157 gradi circa. Con una zoomata continua è possibile procedere all’infinito all’interno della litografia.

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<Per costruire questa litografia Escher utilizzò la griglia riportata sopra: dove spostandosi da un angolo al successivo (ad esempio dal punto A al punto B o viceversa) si ha una variazione di scala di un fattore 4. Dopo una rotazione completa si ritorna al punto di partenza dove il fattore diventa 44 = 256. In altre parole il giovane e’ circa 4 volte più grande del secondo uomo presente nella galleria d’arte e 16 volte di quello seduto sul terrazzo della casa.

Nell’ottobre del 1964 Escher si recò negli Stati Uniti per un ciclo di conferenze. Purtroppo però si ammalò e dovette essere ricoverato per un intervento chirurgico urgente. Tutti gli impegni vennero annullati e Escher non ebbe mai più occasione di tenere quelle conferenze. Aveva scritto il testo completo delle 2 conferenze in inglese. Fortunatamente, questi testi si sono conservati e sono stati successivamente raccolti nel libro: M.C.Escher, Esplorando l’infinito, Garzanti.

In merito alla “Galleria di Stampe” Escher scriveva:

“… lungo i margini l’immagine si espande ad anello, in senso orario, e circonda un centro urbano vuoto. Cercherò di seguire quest’azione, a cominciare dall’angolo in basso a destra.

Varchiamo la soglia per entrare in una galleria di stampe. Le incisioni sono esposte sui tavoli e sui muri. Incontriamo subito un visitatore con le mani dietro la schiena e poi un giovane circa 4 volte più alto. Ha la testa tanto più grossa della mano per via dell’espansione circolare continua. Osserva l’ultima stampa di una serie appesa al muro; vede la nave, il mare e le case di una città sullo sfondo, che nella stampa e davanti a lui continuano a espandersi. In una delle case una donna guarda dalla finestra aperta. Essa e’ anche un particolare della stampa che il giovane osserva, proprio come la tettoia in pendenza che le sta sotto, e che protegge la galleria. Così, dopo avere girovagato con lo sguardo intorno al centro vuoto, dobbiamo concludere logicamente che lo stesso giovane e’ parte della stampa che sta osservando. In realtà egli si vede come un particolare dell’immagine:

la realtà e l’immagine sono una cosa sola.”>[4]

La matematica nelle opere di Escher

Il legame fra le creazioni del grafico olandese e la scienza del suo tempo è stato rintracciato dagli studiosi a vari livelli. Sono stati individuati, da un lato, casi di applicazione consapevole di principi scoperti in quegli anni o, comunque, a lui noti (trasformazioni sul piano cartesiano ed elementi di geometria non euclidea). Sono stati evidenziati, d’altronde, anche lavori con in nuce principi scientifici che l’artista non poteva conoscere anche perché mostreranno le loro principali applicazioni solo molti anni più tardi (autoreferenzialità e intelligenza artificiale).

<Le sue opere grafiche sono celebri per l’uso fantasmagorico degli effetti ottici. Il campionario sviluppato da Escher contempla le sorprese più spettacolari che vanno da illusionistici paesaggi, prospettive invertite, costruzioni geometriche minuziosamente disegnate e altro ancora, frutto della sua inesauribile vena fantastica, che incantano e sconcertano.

Nelle opere di Escher, insomma, l’ambiguità visiva diventa ambiguità di significato, con la conseguenza che i concetti di positivo e negativo, corretto e scorretto sono intercambiabili. Traspaiono dall’opera e dalle invenzioni di questo artista i suoi molteplici interessi e le variegate fonti di ispirazione, che vanno dalla psicologia alla matematica, dalla poesia alla fantascienza.

Tra i suoi più grandi estimatori non c’erano però solo critici, artisti e appassionati d’arte, ma anche logici, fisici e matematici che vedevano nelle sue opere la rappresentazione di importanti principi della matematica e della geometria. Un risultato straordinario se si considera che Escher non era andato oltre l’istruzione matematica formale della scuola secondaria.>[5]

Mi chiedo a questo punto:

Se non ci fosse la matematica, in che altro modo sarebbe organizzato il mondo del pensiero, correlabile alle opere di M. C. Escher. Posto che l’opinione dei suoi estimatori e appassionati d’arte, ma anche logici, fisici e matematici, vedevano nelle sue opere la matematica e la geometria in modo fondamentale. Posto soprattutto che Escher non era andato oltre l’istruzione matematica formale della scuola secondaria. La risposta è che non c’è altro modo e che per viaggiare ininterrottamente nel mondo del pensiero occorre esserlo in qualche modo.

Ma possiamo già dire molte cose sulla matematica in rapporto alla psiche umana, per esempio la forza persuasiva occulta della sezione aurea.

Se la sezione aurea si manifesta nei cristalli, nelle conchiglie, nei cavolfiori, negli ananas, nel volo del falco pellegrino, nel corpo umano, negli uragani, nei bracci delle galassie, se cellule ordinate da un preciso progetto costituiscono organi, che a loro volta costituiscono uomini, se analogamente pianeti costituiscono sistemi solari, che a loro volta costituiscono galassie, cosa ci impedisce, in quanto uomini, di costituire strutture umane ordinate ed armoniche ad imitazione di modelli microcosmici e macrocosmici che, giorno dopo giorno, conosciamo sempre meglio?

La via della visione del mondo del pensiero: gli idiot savant

Tutte le volte che ci accingiamo a fare i viaggi nel mondo del pensiero, cosa che facciamo in ogni momento per piccoli tratti – noi non ce ne rendiamo conto –   prendiamo un immaginario treno, nave o aereo. Noi non ci domandiamo nemmeno della natura di questi mezzi che viaggiano veloci ma che non vediamo, capaci di superare distanze inimmaginabili. È una cosa che sfugge al nostro pensiero ed è come dice Charles Baudelaire:

«Ma i veri viaggiatori partono per partire e basta: cuori lievi, simili a palloncini che solo il caso muove eternamente, dicono sempre “Andiamo”, e non sanno perchè. I loro desideri hanno le forme delle nuvole.»

Il pittore Escher con la sua litografia “Galleria di Stampe” ce ne ha mostrato l’esempio.

A molti capita spesso di ricongiungersi con la stazione di partenza e “rivedere” la nave del quadro di Escher e ricominciare a rifare il percorso nuovamente, come essere sulle montagne russe dei luna park e dei parchi di divertimento con repentine salite e discese, curve paraboliche. E anche con percorsi con “testa all’ingiù”. Ecco il bello e meraviglioso del pensiero, il mondo delle illusioni, delle utopie, non senza i risvolti positivi per imparare come svincolarsi da questi veri pantani in cui è il pensiero formalizzato a darvi il supporto.

Uno degli effetti letali del viaggiare nella galleria di Escher è la grave patologia delle ossessioni compulsive.

<Può capitare a tutti di essere preda di pensieri ripetitivi e negativi, che provocano  improvvise sensazioni di disagio e malessere. Spesso si tratta di stati passeggeri, altre volte di sensazioni che durano più a lungo … ma di cui prima o poi riusciamo a liberarci. Cosa succede quando questi pensieri si “stampano” nella nostra mente, senza possibilità di essere modificati, né momentaneamente soppressi? Probabilmente prenderanno una parte significativa delle nostre risorse attentive, fino a farci pensare che non riusciremo mai a fermare questo flusso di pensieri. A volte il contenuto di questi pensieri può riguardare l’affitto del prossimo mese, un esame medico, la ricerca di un lavoro … tutte preoccupazioni che in modo legittimo prendono spazio nella nostra vita quotidiana. Tuttavia vi sono altri pensieri, altrettanto normali e legittimi seppur irrazionali e sproporzionati rispetto alla realtà, che possono assumere caratteristiche molto “bizzarre” tali di non farceli riconoscere come normali. Vi è mai capitato di essere assaliti da un dubbio improvviso di avere lasciato il gas dei fornelli aperto dopo qualche ora che siete lontani da casa, oppure di aver dimenticato di spegnere la stufa o di chiudere l’automobile, o ancora di aver investito qualcuno o rubato nel supermercato senza esservene accorti, di aver fatto qualcosa di orribilmente sbagliato senza sapere cosa esattamente …? Bene, se avete provato una qualunque di queste sensazioni, avrete sicuramente sperimentato anche la loro naturale conseguenza: andare a controllare che il vostro terribile dubbio non corrispondesse alla realtà! Tutti questi pensieri vengono descritti nella letteratura scientifica come pensieri intrusivi indesiderati, presenti nell’esperienza della maggior parte delle persone e ritenuti sani. Come spesso accade ciò che trasforma un normale pensiero intrusivo, per quanto bizzarro esso sia, in una ossessione patologica non sta nel contenuto del pensiero ma nell’intensità, nella ripetitività e nella pervasività che quel pensiero assume nella nostra vita quotidiana. Il Disturbo Ossessivo-Compulsivo (DOC) descritto nel Manuale Diagnostico dei Disturbi Mentali (DSM-IV) è uno dei più comuni disturbi d’ansia caratterizzato dalla presenza di:

    Ossessioni:  pensieri, impulsi o immagini ricorrenti e persistenti, che vengono vissuti come intrusivi e inappropriati e che l’individuo cerca continuamente di ignorare o sopprimere senza tuttavia riuscirvi; sono causa di intenso disagio o ansia, pur essendo riconosciuti come un prodotto della propria mente e non un dato di realtà.

   Compulsioni: comportamenti ripetitivi (es: lavarsi le mani, riordinare, ricontrollare, ..) o azioni mentali (es: pregare, contare, ripetere parole,..) che la persona si sente obbligata a mettere in atto in risposta ad un pensiero/ossessione o a regole che devono essere messe in atto rigidamente, senza un precisa logica razionale; lo scopo di questi comportamenti è quello di ridurre il disagio percepito o di prevenire eventi o situazioni temute.>[6]

Sull’esempio del quadro di Escher di “Galleria di Stampe” riusciamo a capire che, non appena giunti alla fine della galleria per rivedere la nave di partenza, e non ci si ferma, si continua, per chi è soggetto al DOC, a ripercorrere il precedente tragitto e così ancora per tante altre volte. Ed ecco il risvolto di “Galleria di Stampe” per entrare nel mondo dei geni come Escher e di tanti altri, i quali sono immuni al DOC, nel senso che col loro continuo pensare, sono indotti a fare nuove opere come questa in esame. Ma qual’è la differenza con coloro che sono in qualche modo effettivo dalla patologia delle ossessioni compulsive esaminata, il DOC, in precedenza? Tutto si spiega semplicemente considerando il percorso secondo il principio matematico del nastro di Möbius o no. La schiera dei geni come Escher, con  il loro pensiero, una volta giunti al capolinea della “nave di partenza” vi si svincolano per viaggiare in altri mondi. Questo per spiegare che si tratta del percorso su un nastro di Möbius, come quell’Aion del Mosaico del Museo, della Gliptoteca di Monaco di Baviera. Ma per i malati del DOC non è il nastro di Möbius che percorrono, ma un normale nastro a due facce e così rifanno ripetutamente il tratto precedente.  Ed ecco la spiegazione del prodigio per Escher, che non aveva una cultura nelle scienze e particolarmente nella matematica, poichè – mettiamo – entrava in contatto con esseri di altri mondi estremamente eruditi in tal senso tanto da essere in grado di fare i suoi capolavori che in qualche caso anticipavano i tempi della scienza.

Ecco che si spiega la sua incanalazione psichica in mondi differenti, non trovando sbocchi se non attraverso il disegno, di cui Escher era virtuoso.

Escher è un singolare esempio di essere umano assolutamente disposto a convivere con il mondo interiore che è in noi rivelandosi in tanti modi senza che egli se ne rendesse conto. Di qui la spiegazione di come poteva convivere con lui l’illusione e l’utopia attraverso l’arte, come se fosse un medico che visita il malato mentale diagnosticando la sua patologia. E per Escher il metodo d’analisi è peculiarmente matematico: è il paradosso della diplopia, nel senso che l’autore spesso riunisce due, se non tre, punti di vista nello stesso disegno, rendendolo così tridimensionale.

<Altra cifra tematica fondamentale dell’arte escheriana è quella della compenetrazione tra due mondi differenti. In altre parole Escher spesso si divertì a esplorare le possibilità della visione e a progettare composizioni che, nonostante i limiti fisici imposti dalle dimensioni del supporto, si dilatano ed evocano simultaneamente due mondi differenti. Di seguito si riporta il commento del matematico Bruno Ernst, come già accennato intimo amico di Escher:

«Vedere due mondi diversi nello stesso identico luogo e nello stesso tempo ci fa sentire come se fossimo in balia di un incantesimo. Non è proprio possibile: dove c’è un corpo, non può essercene un altro. Dobbiamo allora inventare un nuovo termine per questa condizione di impossibilità o parafrasarla: ciò che assume lo stesso posto nello stesso momento. Solo un artista ci può dare questa illusione e suscitare in noi una sensazione eccezionale, un’esperienza dei sensi del tutto inedita»

In parole povere, Escher ripudia la visione monoculare prevista dai tradizionalismi artistici e propone una rappresentazione più complessa dello spazio, attirando nella dimensione illusoria dei suoi disegni realtà che tecnicamente dovrebbero essere estranee al loro spazio figurativo. Si verifica, in un certo senso, il paradosso della diplopia, nel senso che l’autore spesso riunisce due, se non tre, punti di vista nello stesso disegno, rendendolo così tridimensionale.>[7]

M. C. Escher potrebbe catalogarsi in una sorta di persone insolite note col termine di idiot savant.

Gli idiot savant trascorrono un’eccezionale quantità di tempo a giocare con i numeri e a risolvere problemi, devono farlo perché c’è sempre moltissimo da imparare. I soggetti colpiti dalla sindrome del savant (in lingua italiana resa con idiota sapiente) indica una serie di ritardi cognitivi anche gravi che essi presentano, accanto allo sviluppo di un’abilità particolare e sopra la norma in un settore specifico. Queste abilità si possono riscontrare in diversi campi: arti visive, in particolare nel disegno, musica, specifiche abilità matematiche o meccaniche. Meno frequentemente sono state riscontrate abilità eccezionali in aree come quella del linguaggio. I dati a disposizione tendono a classificarla appunto come una sindrome.

<Persone oggi conosciute affette dalla sindrome di savant sono circa una cinquantina, almeno quelle viventi. Conosciamo i più famosi. Kim Peek, privo del corpo calloso, è capace di leggere dall’età di circa 18 mesi, pur non riuscendo a muovere un passo fino ai 4 anni. Oggi è capace di divorare un libro in un’ora ricordandone quasi il 98%: ogni occhio legge una pagina. Kim Peek è il savant che ha ispirato Rain man e, in più, possiede l’orecchio assoluto e le sue capacità musicali sono venute da poco allo scoperto. Daniel Tammet conosce 10 lingue, può impararne una in una settimana. In più conosce i decimali del π e, come spiega il fenomeno, è affascinante: ogni numero acquista un colore, una forma, un’emozione. Il fenomeno viene chiamato sinestesia. Stephen Wiltshire è capace di disegnare alla perfezione scorci di una città osservati da un elicottero per soli 20 minuti: gli edifici, le proporzioni, le strade, il numero di colonne del Pantheon, le antenne e i balconi, forse anche i vasi con i fiori, il tutto con una precisione sconcertante.

E poi c’è John Forbes Nash Jr, valutato due soldi a scuola, affetto da schizofrenia, tendente all’isolamento sociale, genio dell’economia e protagonista vero del film A beautiful mind, ispirato alla sua vita. Sarà anche lui un savant? E poi abbiamo i savant del passato: George Orwell, Einstein, Newton, Beethoven, Immanuel Kant, Mozart, Hans Christian Andersen, Lewis Carroll, Freud, Hitchcock, Warroll, sono persone che secondo il Professor Michael Fitzgerald sono state affette dalla sindrome di Asperger, una forma lieve di autismo. Se non sono stati savant, sicuramente sono stati custodi della scintilla del genio. >[8]

Si capisce che nell’elenco dei savant del passato appena elencato va compreso anche Maurits Cornelis Escher

Una frase di Escher: “Solo coloro che tentano l’assurdo raggiungeranno l’impossibile.

Macrocosmo e microcosmo

Macrocosmo e microcosmo, in ambito ermetico ed esoterico, designano due entità di cui l’una è riproduzione in scala dell’altra, e che per via della loro somiglianza formano un insieme indivisibile, un’unità dove le parti (il microcosmo) sono in rapporto al tutto (il macrocosmo).

Macrocosmo e microcosmo nel sistema valentiniano di Achamoth, rappresentati come un insieme di cerchi concentrici l’uno dentro l’altro, diversi per grandezza ma uguali nell’aspetto

L’utilizzo di questi due termini serve a chiarificare, sul piano filosofico, il tipo di relazione intercorrente tra l’Uno e i molti, che non è di semplice alterità o diversità, cioè di differenza quantitativa, ma di sostanziale identità, vigendo un’analogia qualitativa tra il macrocosmo, contenente in sé ogni parte, e il microcosmo, che a sua volta contiene in piccolo il tutto.

In tal modo il sapiente, il filosofo, o lo scienziato, possono basarsi su un modello esplicativo unitario del sapere, valido a tutti i livelli: la filosofia ermetica, ad esempio, poteva fare dell’uomo il microcosmo, mentre l’universo definiva il macrocosmo.

Nonostante la separazione tra scienza e teologia, con l’esclusione del simbolismo dall’orizzonte epistemologico del sapere, esso è rimasto come approccio puramente metodologico nella formulazione di ipotesi.

L’odierna cosmologia ad esempio ha recuperato l’idea di una corrispondenza matematica tra microcosmo e macrocosmo mediante la teoria di Bohm.

Altre ipotesi di analogia sono state riferite:

  •     all’estensione fisica dell’universo rispetto ad un atomo,
  •     alla società umana rispetto ad una comunità,
  •     all’universo in contrapposizione all’uomo,
  •     e talvolta a Dio in contrapposizione all’uomo.

Il frattale curva di Koch o «fiocco di neve»

In ambito matematico, lo studio di Benoît Mandelbrot sui frattali ha riproposto il modello olistico della ripetizione di pattern, ossia di uno stesso paradigma olografico, sia nel macro che nel microcosmo: essendo oggetti geometrici dotati di omotetia interna, i frattali si ripetono nella loro forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque parte si ottiene una figura simile all’originale, per via della caratteristica nota come auto similarità oppure autosomiglianza. In proposito, si deve allo svedese Helge von Koch, agli inizi del Novecento, la descrizione di una delle prime figure di frattali.[9]

Ed ecco che ci si lega a molte opere di Escher che trovano spunto sui frattali, appunto, e il cerchio si chiude.

Ma resta la domanda iniziale del titolo di questo scritto:

Fin dove si può arrivare col pensiero?

Tutto dipende dal DOC, le ossessioni compulsive che pervadono anche le persone normali come uno scienziato nei momenti critici di stallo del suo pensare affannato, alla ricerca della soluzione di un suo progetto. E allora il treno del suo pensiero giunge in prossimità dell’inversione del nastro di Möbius che lo porterebbe a risolvere il suo problema, ma che per l’eccessiva velocità, dovuta alla sua impazienza, o per la stanchezza caparbiamente trascurata, o ancora per altre cause, avviene il deragliamento fatale. Il treno prende il verso del vecchio itinerario di “Galleria di Stampe” di Escher, ed ecco la pazzia mentale del DOC anche in lui. Ma egli è abituato a simili situazioni ed è capace di resistervi mantenendo nervi salvi con la mente. Così facendo questa si fortifica ed è capace di permettere allo scienziato in questione, nuovi tentativi per far progredire i suoi studi, temporaneamente interrotti. Fin dove si può arrivare col pensiero? Teoricamente fino a congiungerci col cerchio del Macrocosmo.


[1] Trae il suo nome dal matematico tedesco August Ferdinand Möbius (1790-1868), che fu il primo a considerare la possibilità di costruzione di figure topologiche non orientabili. Differentemente da quanto talvolta ritenuto, il simbolo matematico ∞ di infinito non fa riferimento al nastro; la sua introduzione è attribuita al matematico inglese John Wallis.

[2] Fonte: https://www.cnr.it/it/news/6973/scoperta-la-piu-antica-raffigurazione-del-nastro-di-moebius

[3] Fonte: https://semplicecome.it/societa-escher-perche-la-sua-arte-dei-legami-la-matematica/

[4] Fonte:  https://zibalsc.blogspot.com/2012/01/95-galleria-di-stampe.html

[5] Fonte: https://ilmondodiescher.weebly.com/la-matematica-nelle-opere-di-escher.html

[6] Fonte: https://www.camillamarzocchi.it/2011/12/17/come-riconoscere-quando-le-ossessioni-sono-patologiche/

[7]Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Maurits_Cornelis_Escher

[8]Fonte: https://www.crescita-personale.it/articoli/competenze/intelligenza/sindrome-savant.html

[9]Fonte: https://it.wikipedia.org/wiki/Macrocosmo_e_microcosmo